Esercizio 14 Problemi di geometria

Traccia

Un trapezio ABCD è circoscritto ad una circonferenza ed è AB la base maggiore, CD la base minore, AD il lato obliquo minore. Si sa che

    \[\frac 25 AB + \frac 23 AD=88 \mbox{ cm } \quad CB-CD= 6 \mbox{ dm } \quad \mbox { e } \quad AD+BC=14 \mbox { dm}\]

. Determinare i lati del trapezio e, successivamente, l’area. (Porre AB=x e AD=y).

Svolgimento

trapezio inscritto

Dai dati avremo che:

AB+CD=AD+BC, per definizione di circonferenza inscritta.

Poniamo come suggerimento AB=x e AD=y, e otteniamo:

\frac 25x + \frac 23 y =88.

Dalla prima però avremo che:

CB-CD=AB-AD, quindi:

x-y=60 (notiamo che qui la misura era in decimetri, non in centimetri!!!)

Risolviamo quindi il sistema:

\begin {cases} \frac 25x + \frac 23 y =88 \\ x-y=60 \end{cases}

\begin {cases} \frac 25(60+y) + \frac 23 y =88 \\ x=60+y \end{cases}

\begin {cases} 24+\frac 25y + \frac 23 y =88 \\ x=60+y \end{cases}

\begin {cases} \frac {6+10}{15} y =64 \\ x=60+y \end{cases}

\begin {cases} \frac {16}{15} y =64 \\ x=60+y \end{cases}

\begin {cases} y =60 \\ x=60+60=120 \end{cases}

Quindi avremo:

AB=120 \mbox{ cm }

AD=60 \mbox{ cm }.

Sapevamo anche che:

AD+BC=140 \mbox{ cm }, quidni:

BC=80 \mbox{ cm } e

CD=BC-60 \mbox{ cm }=20\mbox{ cm }.

Per ricavare l’altezza usiamo un artificio, sapendo che per costruzione AOD e BOC sono retti.

Chiamiamo AK=x e KD=y, e avremo che.

x+y=60, ma sfruttando le uguaglianze dei segmenti di tangenza, avremo anche che:

BP=120-x e

PC=20-y.

Sapendo che entrambi i triangoli considerati sono rettangoli, avremo quindi che:

r^2=AK \cdot KD = BP\cdot PC

Andiamo a risolvere il sistema:

\begin{cases} x+y=60 \\ xy=(120-x)(20-y)  \end{cases}

\begin{cases} x=60-y \\ (60-y)y=(120-(60+y))(20-y)  \end{cases}

\begin{cases} x=60-y \\ 60y-y^2=(60+y)(20-y)  \end{cases}

\begin{cases} x=60-y \\ 60y-y^2=1200-60y+20y-y^2  \end{cases}

\begin{cases} x=60-y \\ 100y=1200  \end{cases}

\begin{cases} x=60-12=48 \\ y=12  \end{cases}

Ora possiamo ricavare il raggio:

r= \sqrt {x \cdot y}=\sqrt {48 \cdot 12}\mbox{ cm }=24 \mbox{ cm }

Quindi l’area sarà data dalla formula inversa del raggio:

A=r \cdot p= 24 \cdot \frac 12 (120+80+20+60) \mbox{ cm }^2=3360\mbox{ cm }^2
 

 

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