Esercizio 17 Problemi di geometria

Traccia

Il perimetro di un triangolo isoscele è 128 m e i 3/4 del lato superano di 15 m i \frac {5}{16} della base. Determinare le lunghezze dei raggi della circonferenza inscritta e della circonferenza circoscritta 25 12

Svolgimento

triangolo isoscele circonferenze

Sia il triangolo di base BC, avremo dai dati:

2p=128 \mbox { m}

\frac 34 AB= \frac {5}{16} BC + 15\mbox { m}.

Poniamo AB=x e BC=y e avremo:

\begin{cases} 2x+y=128 \\\frac 34 x= \frac {5}{16} y + 15 \end{cases}

\begin{cases} y=128-2x \\\frac 34 x= \frac {5}{16} (128-2x) + 15 \end{cases}

\begin{cases} y=128-2x \\\frac 34 x= 40- \frac {5}{8}x + 15 \end{cases}

\begin{cases} y=128-2x \\6 x+5x= 440 \end{cases}

\begin{cases} y=128-2x \\11x= 440 \end{cases}

\begin{cases} y=48 \\x= 40 \end{cases}

Troviamo l’altezza così da trovarci l’area, fondamentale per trovare le lunghezze dei raggi:

AH=\sqrt {AB^2-BH^2}=\sqrt {1600-576} \mbox { m}=\sqrt {1024}\mbox { m}=32\mbox { m}.

Ora, il raggio della circonferenza inscritta è:

r=\frac {A}{p}=\frac {\frac 12 BC \cdot AH}{\frac 12 2p}=\frac {48 \cdot 32}{128}\mbox { m}=12\mbox { m}

Il raggio della circonferenza circosritta sarà invece:

r=\frac {AB \cdot BC \cdot AC}{4 A}=\frac {AB \cdot BC \cdot AC}{4 \frac 12 AH \cdot BC}=\frac {AB  \cdot AC}{2 AH }=\frac {1600}{64}\mbox { m}=25\mbox { m}.
 

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