Problemi relativi alla circonferenza, ai triangoli e ai quadrilateri inscritti e circoscritti

Tracce

  1. In una circonferenza di centro O è data una corda AB congruente agli \frac 83 della sua distanza dal centro; si sa inoltre che, detta OH tale distanza, è verificata la relazione

        \[\frac 56 AH + \frac 49 OH =14 dm\]

    . Determinare il raggio della circonferenza.

  2. Il lato di un rombo supera di 2 m la metà della diagonale maggiore e la somma del lato e della diagonale maggiore è 26 m. Determinare le lunghezze delle diagonali e del raggio della circonferenza inscritta.
  3. In una circonferenza di diamtro AB= 30 cm è data una corda CD perpendicolare nel punto M al diametro AB. Sapendo che

        \[\frac 34 AM + \frac 13 MB=20 cm\]

    , determinare l’area del quadrilatero ABCD. (Porre AM=x).

  4. E’ data una circonferenza di centro O e di diametro AB=6a; si prolunghi il diametro AB, oltre B, di un segmento BC=2a e da C si conducano le due tangenti alla circonferenza. Detti D ed E i due punti di contatto, si determini il segmento CP=x, su CD, in modo che sia verificata la seguente relazione:

        \[\frac 34 CE - 2PC = \frac 13 PD\]

    . Determinare, poi, il perimetro e l’area del quadrilatero ODCE.

  5. Nella semicirconferenza di diametro AB è inscritto il triangolo ABC del quale si conosce che

        \[AC \cong \frac 43 BC \quad \mbox { e } \quad \frac {AC}{6} - \frac {CB}{12}=5 \mbox{ cm }\]

    . Determinare il diametro AB, il perimetro e l’area del triangolo ABC.

  6. Un trapezio isoscele è circoscritto a una semicirconferenza di diametro 30 cm. Dopo aver dimostrato che il lato obliquo è metà della base maggiore, determinare il perimetro del trapezio sapendo che il diametro è il triplo della base minore.
  7. Un trapezio isoscele di perimetro 110 cm è circoscritto a una semicirconferenza. Dopo aver dimostrato che il lato obliquo è congruente a metà della base maggiore,, determinare i lati del trapezio sapendo che la base minore è i \frac 25 del lato obliquo. Determinare inoltre l’area del trapezio.
  8. In una circonferenza di centro O è data una corda AB che è gli \frac 85 del raggio; i sa inoltre che \frac 38 AB + \frac 45 AO=14 cm. Determinare l’area del triangolo isoscele ABC inscritto nella circonferenza contenente il centro e avente per base la corda AB.
  9. Nel triangolo isoscele ABC, la base BC è congruente all’altezza AH a essa relativa: si sa, inoltre che la differenza fra i \frac34 di BC e i \frac 23 di AH è 4 cm. Determinare il diametro della circonferenza circoscritta al triangolo.
  10. In un triangolo isoscele la base supera il lato di 4a e la somma della metà della base e dei \frac 35 del lato è congruente alla base stessa. Determinare il diametro della circonferenza circoscritta.
  11. In un trapezio isoscele la base minore è i \frac 25 del lato obliquo, il perimetro è 80 cm e la somma della quarta parte della base maggiore con la metà della base minore è 12 cm. Verificare che il trapezio è circoscrivibile a una circonferenza e calcolarne il diametro,
  12. Un triangolo isoscele ABC, di base AB e altezza CH, è inscritto in una circonferenza di centro O. Sapendo che

        \[\frac 29 CH + \frac 16 AB=CH-AB=3 \mbox{ cm }\]

    , si verifichi che la distanza tra O e i lati congruenti + \sqrt{\frac 52} cm.

  13. Il quadrilatero ABCD ha la diagonale maggiore AC perpendicolarae alla diagonale minore BD nel suo punto medio M. Determinare le lunghezze delle diagonali sapendo che la loro somma è 49 m e che la differenza tra i \frac 75 della maggiore e i \frac 38 della minore è 26 m. Sapendo inoltre che AM=\frac {9}{16}CM, determinare le lunghezze dei lati del quadrilatero e verificare che gli angoli in B e in D sono retti. Dopo aver dimostrato che il quadrilatero è circoscrivibile a una circonferenza, determinare il raggio della circonferenza inscritta.
  14. Un trapezio ABCD è circoscritto ad una circonferenza ed è AB la base maggiore, CD la base minore, AD il lato obliquo minore. Si sa che

        \[\frac 25 AB + \frac 23 AD=88 \mbox{ cm } \quad CB-CD= 6 \mbox{ dm } \quad \mbox { e } \quad AD+BC=14 \mbox { dm}\]

    . Determinare i lati del trapezio e, successivamente, l’area. (Porre AB=x e AD=y).

  15. In un triangolo rettangolo la somma dei \frac 23 del cateto minore e dei \frac 38 del maggiore è 21 cm e la differenza delle lunghezze dei cateti è 6 cm. determinare la lunghezza del raggio della circonferenza inscritta dopo aver dimostrato che la somma dei cateti supera l’ipotenusa di un segmento avente la lunghezza del diametro della circonferenza inscritta.
  16. I triangoli isosceli ABD e CBD hanno in comune la base BD e i vertici A e C giacciono da parte opposta rispetto alla base BD. Le misure dei perimetri dei triangoli sono rispettivamente 64a e 54a. Determinare le misure dei lati dei triangoli sapendo che:

        \[\frac 45 BC - \frac 14 AB = 7a\]

    Verificare che gli angoli in B e in D del quadrilatero ABCD sono retti e determinare la misura del raggio della circonferenza circoscritta la quadrilatero.

  17. Il perimetro di un triangolo isoscele è 128 m e i 3/4 del lato superano di 15 m i \frac {5}{16} della base. Determinare le lunghezze dei raggi della circonferenza inscritta e della circonferenza circoscritta
  18. In una circonferenza di centro O è inscritto il triangolo isoscele ABC, di base BC e la cui altezza relativa alla base è AH>AO. Si sa che sono verificate le seguenti relazioni:

        \[\frac 14 AH + \frac 25 BO=9 \mbox { cm }; \quad AO-OH=9 \mbox { cm }\]

    .Determinare il perimetro del triangolo e la sua area.

  19. Il trapezio ABCD è circoscritto ad una circonferenza;la base maggiore AB è il doppio del lato obliquo AD ed i \frac 32 dell’altro lato obliquo BC. Determinare il perimetro del trapezio sapendo che la somma dei \frac 45 della base minore DC e del lato obliquo maggiore BC è 38 cm.
  20. Nel triangolo ABC i lati AB e AC superano rispettivamente di 28 cm e 8 cm le loro proiezioni BH e CH sul lato BC. Si conosce il perimetro del triangolo, 504 cm, e si chiede di determinare i lati del triangolo, l’altezza AH, l’area del triangolo e il raggio del cerchio inscritto nel triangolo.
  21. Le diagonali del quadrilatero ABCD sono perpendicolari e si incontrano in O punto medio della diagonale BD. Determinare i lati del quadrilatero sapendo che il suo perimetro è di 84 cm e che

        \[\frac 12 DC+\frac 23 AD=24 \mbox { cm }\]

    Dimostrare poi che il quadrilatero è circoscrivibile a una circonferenza e, sapendo che gli angoli \widehat{ABC} e \widehat{ADC} sono retti, calcolare il raggio della circonferenza inscritta.

  22. Un triangolo isoscele è inscritto in una circonferenza e il centro della circonferenza è interno al triangolo; sommando i \frac 58 della base a \frac 14 dell’altezza relativa si ottengono 19 cm e la base supera di 12 cm i \frac 34 dell’altezza. Determinare le lunghezze dei lati del triangolo e del raggio della circonferenza.
  23. in un triangolo rettangolo la somma dei \frac 78 del cateto maggiore e dei \frac 23 del cateto minore è 44 a; sottraendo ai \frac 54 del cateto minore i \frac 38 del cateto maggiore si ottiene 18a . Determinare le lunghezze dei lati del triangolo e del raggio della circonferenza inscrittta dopo aver dimostrato che il diametro della circonferenza inscritta è congruente alla differenza tra la somma dei cateti e l’ipotenusa.
  24. Il diametro AB di una circonferenza, lungo 25 cm è diviso dal punto H nelle due parti AH e HB in modo che

        \[\frac 14 HB+\frac 13AH=7\]

    . Condotta per H la corda CD perpendicolare al diametro AB, determinare la lunghezza del perimetro del quadrilatero ADBC e, dopo aver dimostrato che il quadrilatero è circoscrivibile a una circonferenza, determinare la lunghezza del raggio della circonferenza inscritta.

  25. Nel triangolo ABC, rettangolo in A, il cateto minore AB è lungo 7a e l’ipotenusa supera di a l’altro cateto. Determinare sull’ipotenusa BC un punto P in modo che sia

        \[\frac 14 BP+\frac 13 CP \cong AB\]

    .
    Condotta la circonferenza circoscritta al triangolo ABC, sia PD la semicorda, esterna al triangolo ABC, perpendicolare a BC. Determinare la lunghezza del perimetro e l’area del quadrilatero ABDC.

  26. E’ data una semicirconferenza di diametro AB = 12 cm; il punto C divide AB in parti proporzionali ai numeri 1 e 4. Si conduca da C la perpendicolare ad AB che incontri in D la semicirconferenza e, dopo aver determinato AC, CB, CD, si determini sull’arco BD un punto E in modo che si abbia

        \[\frac 19 EH + \frac 14 EK = 2 \mbox { cm}  \quad  \mbox { e }  \quad \frac 15 DH + \frac 12 BK = 1,2 \mbox { cm }.\]

    , essendo H e K le proiezioni ortogonali di E rispettivamente su CD e CB. Come risulta il quadrilatero CDEK?

 

 

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