Esercizio 25 Problemi risolubili con equazioni di primo grado e con l’applicazione del teorema di Pitagora

Traccia

Il quadrilatero ABCD ha le diagonali, che si incontrano nel punto O, perpendicolari tra loro; si conosce che il perimetro del quadrilatero è di 56 cm, che AO \cong \frac 59 OC, BO \cong \frac 43 OC e BO \cong OD. Determinare l’area del quadrilatero ABCD.

Svolgimento

quadrilaterodiagonali

Dai dati avremo che:

AC \perp BD

2p=56 \mbox { cm}

AO \cong \frac 59 OC

BO \cong \frac 43 OC e

BO \cong OD.

Innanzitutto poniamo OC=x, così da ottenere:

AO=\frac 59 x

BO=OD=\frac 43 x

Per costruzione, avremo quattro triangoli rettangoli uguali a due a due, ovvero avremo che:

AOB=AOD e

BOC=COD.

Ricaviamo AB, che tra l’altro è uguale ad AD, in funzione di x con il teorema di Pitagora:

AB=AD=\sqrt {AO^2+OB^2}=\sqrt {\frac {25}{81}x^2+\frac {16}{9}x^2}=\sqrt {\frac {169}{81}x^2}=\frac {13}{9}x

Ricaviamo allo stesso modo BC, segmento uguale a CD:

BC=CD=\sqrt {OC^2+OB^2}=\sqrt {x^2+\frac {16}{9}x^2}=\sqrt {\frac {25}{9}x^2}=\frac 53x

Ora che abbiamo tutti e 4 i lati in funzione di x, possiamo sfruttare l’uguaglianza al perimetro:

\frac {13}{9}x+\frac {13}{9}x+\frac 53x+\frac 53x=56

\frac {56}{9}x=56

x=9

Da cui avremo:

OC=9 \mbox { cm}

AO=5 \mbox { cm}

BO=OD=12 \mbox { cm}

Le diagonali saranno quindi:

AC=AO+OC=(5+9) \mbox { cm} =14 \mbox { cm}

DB=DO+OB=(12+12) \mbox { cm} =24 \mbox { cm}

L’area sarà quindi:

A_{ABCD}=\frac {AC \cdot DB}{2}=\frac {14 \cdot 24}{2} \mbox { cm}^2=168 \mbox { cm}^2
 

 

 

 

Altri esercizi simili

 

(Questa pagina è stata visualizzata da 160 persone)

Lascia un commento

Il tuo indirizzo email non sarà pubblicato. I campi obbligatori sono contrassegnati *

La matematica spiegata passo passo