Esercizio 5 Problemi risolubili con equazioni di primo grado e con l’applicazione del teorema di Pitagora

Traccia

Un trapezio isoscele è diviso dalla parallela al lato obliquo, condota per uno degli estremi della base minore, in un triangolo e in quadrilatero il cui rapporto è 2/5. Sapendo che l’altezza è di 3 cm. e che l’area del trapezio è 42 cm^2, determinare il perimetro del trapezio dato. Condurre dal punto medio di uno dei lati obliqui la parallela alle basi e determinare perimetro e area del trapezio formato da tale parallela e dalla base maggiore del trapezio dato.

Svolgimento

trapezioisosceletriangolo (1)

Dal grafico notiamo subito che il triangolo CBE è isoscele per costruzione, e il quadrilatero AECD è un parallelogrammo. Denotiamo con x l’area del parallelogrammo così da avere:

A_{CBE}=\frac 2 5 x

Ovviamente l’area del trapezio è dato dalla somma delle due aree e quindi:

x+\frac 2 5 x=42
\frac 7 5 x =42
x=42 \cdot \frac 57=30

Così avremo che:

A_{AECD}= 30 \mbox { cm}^2
A_{EBC}= \frac 25 \cdot 30 \mbox { cm}^2= 12 \mbox { cm}^2

Conoscendo l’altezza possiamo ricavare le basi del triangolo e del parallelograma:

EB= \frac {2A}{h}

EB=\frac {24}{3}\mbox { cm}= 8\mbox { cm}

AE=\frac {A}{h}

EB=\frac {30}{3}\mbox { cm}= 10\mbox { cm}

Avremo quindi che:

AB=(8+10)\mbox { cm}= 18\mbox { cm}

Per trovare la base minore imponiamo che :

AB+CD=\frac {2A}{h}

AB+CD=\frac {84}{3}\mbox { cm}= 28\mbox { cm}

e quindi:

CD=(28-18)\mbox { cm}= 10\mbox { cm}

Per il lato obliquo basterà usare Pitagora:

BC=\sqrt {h^2+b^2}=\sqrt {3^2+(\frac 82)^2}\mbox { cm}=\sqrt {9+16}\mbox { cm}=\sqrt {25}\mbox { cm}=5 \mbox { cm}

Possiamo ora calcolare il permietro del trapezio:

2p=(18+5+10+5)\mbox { cm}= 38 \mbox { cm}

Del trapezio seguente conosciamo:

AB=18 \mbox { cm}

BF=GA=\frac 12 5 \mbox { cm}=2,5 \mbox { cm}

Per calcolare la base minore, basti notare che i triangoli ECB e CFL sono simili con coefficiente di similitudine 2, e quindi avremo proprio che:

FL= \frac 12 8 \mbox { cm}= 4 \mbox { cm}

e ora la base minore sarà:

FG=(18-4)\mbox { cm}= 14 \mbox { cm}

Il nuovo perimetro sarà:

2p=(18+14+2,5+2,5) \mbox { cm}= 37 \mbox { cm}

e l’area:

A= \frac {(18+14) \cdot }{2} \mbox { cm}^2=24 \mbox { cm}^2

 

 

 

 

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Un pensiero su “Esercizio 5 Problemi risolubili con equazioni di primo grado e con l’applicazione del teorema di Pitagora”

  1. grazie mille per l’ottimo vavoro che svolgete con questo sito! potrei sapere da che libro è stato tratto questo esercizio?

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