Esercizio 26 Problemi risolubili con equazioni di primo grado e con l’applicazione del teorema di Pitagora

Traccia

Determinare l’area del quadrilatero ABCD, avente le diagonali perpendicolari tra loro, sapendo che AC \cong \frac 54 OC, BO \cong 2 \cdot AO, BD \cong \frac 43 OC, essendo O il punto di intersezione delle due diagonali AC e BD e sapendo che è

    \[\frac 53 AO+ 4OD- \frac 72 OB=2AC-6 \mbox { cm }\]

. 120  cm^2

Svolgimento

 quadrilaterodiagonali

 

Dai dati avremo:

 

AC = \frac 54 OC,

BO = 2 \cdot AO,

BD  = \frac 43 OC,

\frac 53 AO+ 4OD- \frac 72 OB=2AC-6 \mbox { cm }

 

Poniamo OC=x, così da avere:

AC=\frac 54x , ma sappiamo che:

AC=AO+OC, e allora

AO=\frac 54x-x=\frac 14x.

Quindi avremo che:

BO=\frac 12 x

e infine:

BO+OD=\frac 43x

2AO+OD=\frac 43x

OD=\frac 56 x
Ora abbiamo tutto per l’ultima equazione, così da ottenere:

 

\frac {5}{12}x+ \frac {10}{3}x-\frac 74x=\frac 52x -6

\frac {5}{12}x+ \frac {10}{3}x-\frac 74x-\frac 52x =-6

\frac {5+40-21-30}{12}x=-6

\frac {-6}{12}x=-6

x=12

da cui avremo:

OC=12 \mbox { cm}

e le diagonali:

AC= 15 \mbox { cm}

e

BD=16 \mbox { cm}

L’area sarà quindi:
A_{ABCD}=\frac {AC\cdot BD}{2}=\frac {15 \cdot 16}{2}\mbox { cm}^2=120\mbox { cm}^2
 

 

 

 

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