Esercizio 6 Problemi risolubili con equazioni di primo grado e con l’applicazione del teorema di Pitagora

Traccia

Il perimetro del triangolo ABC, isoscele sulla base BC, è di 64 cm e la base BC supera di 13 cm ciascuno dei lati congruenti AB e AC. Determinare l’area del triangolo. Sia D il punto medio di AC e D’ il simmetrico di D rispetto a BC; detto A’ il punto simmetrico di A rispetto a BC, determinare perimetro e area del trapezio ADD’A’.

Svolgimento

triangoloisoscele (4)

 

Dai dati sappiamo che:

2p= 64 \mbox { cm}

BC=AC+13 \mbox { cm}

Denotando AC=x, otteniamo:

BC=x+13

2p=x+x+x+13=64

3x=51

x=17

Da cui:

AC=AB=17\mbox { cm}

BC=30 \mbox{ cm}

Possiamo ora trovare l’altezza del triangolo con il teorema di PItagora, sapendo che  BJ=\frac 12 BC=15 \mbox { cm}

AJ=\sqrt {AB^2-BJ^2}=\sqrt {289-225} \mbox { cm}=\sqrt {64} \mbox { cm}=8 \mbox { cm}

Quindi, l’area del triangolo ABC sarà:

A_{ABC}=\frac {BC \cdot AJ}{2}=\frac {30 \cdot 8}{2} \mbox { cm}^2=120 \mbox { cm}^2

Per costruzione sappiamo che:

AD=DC=A'D'=8,5 \mbox { cm}

AA'=2AJ=16 \mbox { cm}

Visto che i 2 triangoli ACJ e DCH sono simili, vorrà dire che anche DH=\frac 12 AJ e JH=\frac 12 CH, quindi:

DH=4 \mbox { cm} \Rightarrow DD'=8\mbox { cm}

e

JH=7,5 \mbox { cm}.

Quindi possiam trovare perimetro e area:

2p_{AA'DD'}=(16+8.5+8.5+8) \mbox { cm}=41 \mbox { cm}

A=\frac {(AA'+DD') \cdot JH}{2}=\frac {(16+8) \cdot 7,5}{2} \mbox { cm^2}=90 \mbox { cm^2}

 

 

 

 

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