Esercizio 25 Equazioni irrazionali contenenti radicali quadratici 1

Traccia

\sqrt{4-x-x^2}=\sqrt{x^2+x}

Svolgimento

Essendo una radice quadrata bisognerà imporre un dominio di esistenza dell’eventuale soluzione dell’equazione, ed imporre anche che il secondo termine sia positivo; quindi svolgeremo un sistema in cui imponiamo che il radicando sia positivo e poi eleveremo al quadrato ambo i membri.

\begin{cases} 4-x-x^2 \geq 0 \\ x^2+x \geq 0 \\ 4-x-x^2=x^2+x \end{cases}

\begin{cases} x^2+x-4 \leq 0 \\ x^2+x \geq 0 \\ x^2+x+x^2+x-4=0 \end{cases}

Per le due disequazioni, per questioni di comodità, scriviamo solo i risultati.

\begin{cases}  \frac{-1 - \sqrt {17}}{2}  \leq x \leq \frac{-1 + \sqrt {17}}{2} \\  x \leq -1 \quad \lor \quad x \geq 0  \\ 2x^2+2x-4=0 \end{cases}

\begin{cases}  \frac{-1 - \sqrt {17}}{2}  \leq x \leq \frac{-1 + \sqrt {17}}{2} \\  x \leq -1 \quad \lor \quad x \geq 0  \\ x^2+x-2=0 \end{cases}

\begin{cases}  \frac{-1 - \sqrt {17}}{2}  \leq x \leq \frac{-1 + \sqrt {17}}{2} \\  x \leq -1 \quad \lor \quad x \geq 0  \\ x_ 1= -2 \quad \wedge \quad x_2=1  \end{cases}

Le soluzioni sono entrambi accettabili, perchè, essendo il problema principalmente sulla prima disequazione, notiamo che:

    \[\sqrt {17} \simeq 4 \Rightarrow  \frac{-1 - \sqrt {17}}{2}  \leq x \leq \frac{-1 + \sqrt {17}}{2} \simeq \frac{-5}{2}  \leq x \leq \frac{3}{2} \]

,

e quindi le soluzioni sono comprese in questo intervallo

 

 

 

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