Esercizio 31 Equazioni irrazionali contenenti radicali quadratici 1

Traccia

\sqrt{2x+9}+13=x

Svolgimento

\sqrt{2x+9}=x-13

Essendo una radice quadrata bisognerà imporre un dominio di esistenza dell’eventuale soluzione dell’equazione, ed imporre anche che il secondo termine sia positivo; quindi svolgeremo un sistema in cui imponiamo che il radicando sia positivo e poi eleveremo al quadrato ambo i membri.

\begin{cases} 2x+9 \geq 0 \\ x-13 \geq 0 \\ 2x+9=x^2-26x+169 \end{cases}

\begin{cases} 2x \geq -9 \\ x \geq 13 \\ x^2-26x+169-2x+9=0 \end{cases}

\begin{cases} x \geq -\frac 92 \\ x \geq 13 \\ x^2-28x+160=0 \end{cases}

\begin{cases} x \geq -\frac 92 \\ x \geq 13 \\ x_{\frac 12}=\frac {28\pm \sqrt {784-640}}{2} \end{cases}

\begin{cases} x \geq -\frac 92 \\ x \geq 13 \\ x_{\frac 12}=\frac {28\pm \sqrt {144}}{2} \end{cases}

\begin{cases} x \geq -\frac 92 \\ x \geq 13 \\ x_{\frac 12}=\frac {28\pm 12}{2} \end{cases}

\begin{cases} x \geq -\frac 92 \\ x \geq 13 \\ x_1=\frac {28 -12}{2}=8 \quad \wedge \quad x_2=\frac {28 +12}{2}=20 \end{cases}

E’ accettabile solo una soluzione, ovvero x=20.

 

 

 

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