Esercizio 9 Equazioni irrazionali contenenti radicali quadratici 1

Traccia

\sqrt{x+3}=x+1

Svolgimento

Essendo una radice quadrata bisognerà imporre un dominio di esistenza dell’eventuale soluzione dell’equazione, ed imporre anche che il secondo termine sia positivo; quindi svolgeremo un sistema in cui imponiamo che il radicando sia positivo e poi eleveremo al quadrato ambo i membri.

\begin{cases} x+3 \geq 0 \\ x+1 \geq 0 \\ x+3=(x+1)^2 \end{cases}

\begin{cases} x \geq -3 \\ x \geq -1 \\ x+3=x^2+2x+1 \end{cases}

\begin{cases} x \geq -3 \\ x \geq -1 \\ x^2+2x+1-x-3=0 \end{cases}

\begin{cases} x \geq -3 \\ x \geq -1 \\ x^2+x-2=0 \end{cases}

\begin{cases} x \geq -3 \\ x \geq -1 \\ x_ {\frac 12}= \frac {-1 \pm \sqrt {1+8}}{2}\end{cases}

\begin{cases} x \geq -3 \\ x \geq -1 \\ x_ {\frac 12}= \frac {-1 \pm \sqrt {9}}{2}\end{cases}

\begin{cases} x \geq -3 \\ x \geq -1 \\ x_ {\frac 12}= \frac {-1 \pm 3}{2}\end{cases}

\begin{cases} x \geq -3 \\ x \geq -1 \\ x_ 1= \frac {-1 - 3}{2} = -2 \quad  \lor \quad x_ 2= \frac {-1 + 3}{2} = 1 \end{cases}

E’ accettabile solo una soluzione, ovvero x=1.

 

 

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