Esercizio 42 Equazioni irrazionali contenenti radicali quadratici 1

Traccia

1+\sqrt{(2x-1)^2+x-3}=2x

Svolgimento

\sqrt{4x^2-4x+1+x-3}=2x-1

\sqrt{4x^2-3x-2}=2x-1

Essendo una radice quadrata bisognerà imporre un dominio di esistenza dell’eventuale soluzione dell’equazione, ed imporre anche che il secondo termine sia positivo; quindi svolgeremo un sistema in cui imponiamo che il radicando sia positivo e poi eleveremo al quadrato ambo i membri.

\begin{cases} 4x^2-3x-2 \geq 0 \\ 2x-1 \geq 0 \\ 4x^2-3x-2=4x^2-4x+1 \end{cases}

\begin{cases} x \leq \frac {3 - \sqrt {41}}{8} \quad \lor \quad x \geq \frac {3 + \sqrt {41}}{8}  \\ 2x \geq 1 \\ 4x^2-3x-2-4x^2+4x-1=0 \end{cases}

\begin{cases} x \leq \frac {3 - \sqrt {41}}{8} \quad \lor \quad x \geq \frac {3 + \sqrt {41}}{8}  \\ x \geq \frac 12 \\ x-3=0 \end{cases}

\begin{cases} x \leq \frac {3 - \sqrt {41}}{8} \quad \lor \quad x \geq \frac {3 + \sqrt {41}}{8}  \\ x \geq \frac 12 \\ x=3 \end{cases}

La soluzione è accettabile perchè

    \[\sqrt {41} \simeq 6,5 \Rightarrow \frac {3 + \sqrt {41}}{8} \simeq 1,2\]

, e quindi la soluzione verifica le condizioni.

 

 

 

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