Esercizio 40 Equazioni irrazionali contenenti radicali quadratici 1

Traccia

x+\sqrt{10x+6}=9

Svolgimento

\sqrt{10x+6}=9-x

Essendo una radice quadrata bisognerà imporre un dominio di esistenza dell’eventuale soluzione dell’equazione, ed imporre anche che il secondo termine sia positivo; quindi svolgeremo un sistema in cui imponiamo che il radicando sia positivo e poi eleveremo al quadrato ambo i membri.

\begin{cases} 10x+6 \geq 0 \\ 9-x \geq 0 \\ 10x+6=x^2-18x+81 \end{cases}

\begin{cases} 10x \geq -6 \\ -x \geq -9 \\ x^2-18x+81-10x-6=0 \end{cases}

\begin{cases} x \geq -\frac 35 \\ x \leq 9 \\ x^2-28x+75=0 \end{cases}

\begin{cases} x \geq - \frac 35 \\ x \leq 9 \\ x_{\frac 12}=\frac {28 \pm \sqrt {784-300}}{2} \end{cases}

\begin{cases} x \geq \frac 35 \\ x \leq 9 \\ x_{\frac 12}=\frac {28 \pm \sqrt {484}}{2} \end{cases}

\begin{cases} x \geq \frac 35 \\ x \leq 9 \\ x_{\frac 12}=\frac {28 \pm 22}{2} \end{cases}

\begin{cases} x \geq \frac 35 \\ x \leq 9 \\  x_1=\frac {28 -22}{2}=3 \quad \wedge \quad x_2=\frac {28 +22}{2}=25 \end{cases}

E’ accettabile solo una soluzione, ovvero x=3.

 

 

 

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