Esercizio 30 Equazioni irrazionali contenenti radicali quadratici 1

Traccia

\sqrt{4(x-1)+x}=8-x

Svolgimento

\sqrt{4x-4+x}=8-x

\sqrt{5x-4}=8-x

Essendo una radice quadrata bisognerà imporre un dominio di esistenza dell’eventuale soluzione dell’equazione, ed imporre anche che il secondo termine sia positivo; quindi svolgeremo un sistema in cui imponiamo che il radicando sia positivo e poi eleveremo al quadrato ambo i membri.

\begin{cases} 5x-4 \geq 0 \\ 8-x \geq 0 \\ 5x-4=x^2-16x+64 \end{cases}

\begin{cases} 5x \geq 4 \\ -x \geq -8 \\ x^2-16x+64-5x+4=0 \end{cases}

\begin{cases} x \geq \frac 45 \\ x \leq 8 \\ x^2-21x+68=0 \end{cases}

\begin{cases} x \geq \frac 45 \\ x \leq 8 \\ x_{\frac 12}=\frac {21\pm \sqrt {441-272}}{2} \end{cases}

\begin{cases} x \geq \frac 45 \\ x \leq 8 \\ x_{\frac 12}=\frac {21\pm \sqrt {169}}{2} \end{cases}

\begin{cases} x \geq \frac 45 \\ x \leq 8 \\ x_{\frac 12}=\frac {21\pm 13}{2} \end{cases}

\begin{cases} x \geq \frac 45 \\ x \leq 8 \\ x_1=\frac {21 -13}{2}=4 \quad \wedge \quad x_2=\frac {21 +13}{2}=17 \end{cases}

E’ accettabile solo una soluzione, ovvero x=4.

 

 

 

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