Esercizio 27 Equazioni irrazionali contenenti radicali quadratici 1

Traccia

3\sqrt{x+3}-4x=-15

Svolgimento

3\sqrt{x+3}=4x-15

Essendo una radice quadrata bisognerà imporre un dominio di esistenza dell’eventuale soluzione dell’equazione, ed imporre anche che il secondo termine sia positivo; quindi svolgeremo un sistema in cui imponiamo che il radicando sia positivo e poi eleveremo al quadrato ambo i membri.

\begin{cases} x+3 \geq 0 \\ 4x-15 \geq 0 \\ 9(x+3)=16x^2-120x+225 \end{cases}

\begin{cases} x \geq -3 \\ 4x \geq 15 \\ 9x+27=16x^2-120x+225 \end{cases}

\begin{cases} x \geq -3 \\ x \geq \frac {15}{4} \\ 16x^2-120x+225-9x-27=0 \end{cases}

\begin{cases} x \geq -3 \\ x \geq \frac {15}{4} \\ 16x^2-129x+198=0 \end{cases}

\begin{cases} x \geq -3 \\ x \geq \frac {15}{4} \\ x_{\frac 12}=\frac {129 \pm \sqrt {16641-13672}}{32} \end{cases}

\begin{cases} x \geq -3 \\ x \geq \frac {15}{4} \\ x_{\frac 12}=\frac {129 \pm \sqrt {3969}}{32} \end{cases}

\begin{cases} x \geq -3 \\ x \geq \frac {15}{4} \\ x_{\frac 12}=\frac {129 \pm 63}{32} \end{cases}

\begin{cases} x \geq -3 \\ x \geq \frac {15}{4} \\ x_1=\frac {129 - 63}{32}=\frac {66}{32}=\frac {33}{16} \quad \wedge \quad x_2=\frac {129 + 63}{32}=\frac {192}{32}=6  \end{cases}

E’ accettabile solo x=6 perchè \frac {33}{16} \simeq 2, e quindi minore di una delle condizioni di esistenza.

 

 

 

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